مثلثات فيثاغورس المشهورة في القدرات هي إحدى النظريات الرياضية التي وضعها عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورث، والتي تجمع بين ثلاثة أطراف في المثلث قائم الزاوية، وهي من أقدم النظريات المعروفة والمستخدمة بشكل كبير في المثلثات، وسنتعرف وإياكم عبر على مثلثات فيثاغورس المشهورة، وعلى نص هذه النظرية.
مثلثات فيثاغورس المشهورة
عبارة عن علاقة هندسية تربط الأطراف الثلاثة في المثلث قائم الزاوية، وتقول هذه النظرية أن مربع الوتر الموجود في الجانب المقابل للزاوية اليمنى يساوي مجموع مربعات الجانبين الآخرين، والمعروفة بنظرية فيثاغورس نسبة إلى العالم اليوناني الذي وضعها. والجدير بالذكر أن هذه النظرية من أقدم النظريات المعروفة والمستخدمة إلى يومنا هذا، وهي من أشهر إسهامات العالم فيثاغورس في الرياضيات.
شاهد أيضًا: المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة يعتبر
مثلثات فيثاغورس المشهورة في القدرات
ينص القانون الخاص بمثلثات فيثاغورس المشهورة في مادة القدرات على أن مجموع مربعي طولي الضلعين القائمتين (الضلعين الأقصر في المثلث قائم الزاوية) يساوي مربع طول الوتر (الضلع الأطول في المثلث)، ويمكن تمثيل النظرية بالرموز: أ² + ب ² = ج ²، حيث أ وَ ب هما ضلعا المثلث قائم الزاوية، أما ج فتعبر عن وتر هذا المثلث أو الضلع الأطول فيه.[1]
أهمية نظرية فيثاغورس
تتمثل أهمية نظرية فيثاغورس لما يلي:
- توضيح نوع وشكل المثلث، فعندما يكون مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين فيكون المثلث قائم، وفي حال كان مربع طول الوتر أطول من مربعي الضلعين الآخرين فيكون المثلث منفرج، أما إذا كان مربع طول الوتر أقل من مجموع مربعي الضلعين الآخرين فيكون المثلث حاد الزاوية.
- المساعدة في حساب أطوال الأضلاع المجهولة، حيث يمكن الاستفادة منها في المستطيلات والمربعات أيضًا.
إثبات نظرية فيثاغورس
يمكن إثبات هذه النظرية من خلال المثال الآتي:
نفرض (د، هـ، و، ي) مربع، وتقسم كل نقطة الضلع لقسمين (أ، ب)، نصل بين هذه النقاط بخطوط مستقيمة لينتج مربع في الداخل طول ضلعه ج وأربعة مثلثات داخلية قائمة الزاوية وترها ج وطول الضلع أ، ب، ليكون طول الضلع للمربع الخارجي (أ+ ب)، كما يعبر عن مساحة المربع الخارجي بـ (أ + ب)² التي تساوي مساحة المثلثات الداخلية الأربعة، كما يمكن حسابه من خلال العلاقة: 4 × (½ × طول القاعدة × الارتفاع) = 2/ 4 × أ ×ب = 2 أ ب، إضافةً إلى مساحة المربع الداخلي ج ² لتنتج مساحة المربع الخارجي، وهي: ( أ + ب ) ² = 2أب + ج ².
أمثلة على مثلثات فيثاغورس المشهورة
المثال الأول:
أ ب ج مثلث قائم الزاوية، احسب طول الوتر ج علمًا أن طول الضلع أ ب = 3 سم، وطول الضلع ج أ = 4 سم.
الحل:
- (طول الوتر) ² = (مربع الضلع الأول) ² + (مربع الضلع الثاني) ²
- ب ج ²= أ ب² + ب ج²
- ب ج ²= 3² + 4²
- ب ج² = 9 + 16 = 25 سم.
- وبعد الجذر: ب ج = 5 سم.
المثال الثاني:
أ ب ج مثلث أطوال أضلاعه 12، 13، 6، هل هو مثلث صحيح؟
الحل:
وفقًا لنظرية فيثاغورس فإن الضلع الذي طوله 13 يكون الوتر، وللتأكد من أن المثلث صحيح وقائم يجب أن يكون مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
- 13² = 169
- 6² + 12²= 36 + 144= 180
- 13²≠180 بالتالي المثلث ليس قائم.
شاهد أيضًا: كم زاوية قائمة في المثلث
عكس نظرية مثلثات فيثاغورس المشهورة
ينص عكس نظرية فيثاغورس على: إذا كان مربع أطول ضلع في المثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين يكون المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة للضلع الأطول (الوتر)، مثال: مثلث أطوال أضلاعه 13، 12، 5، هل هو مثلث قائم؟
الحل:
- أطول ضلع لهذا المثلث طوله 13 سم.
- 13²= 169
- مجموع مربعي الضلعين الأخرين:
- 12²+ 5²= 25 + 144= 169
- بالتالي المثلث قائم الزاوية وفقًا لعكس نظرية فيثاغورث.
حساب زوايا المثلثات المشهورة
إن مجموع قياس زوايا أي مثلث هو 180 درجة، ومنه يمكن حساب قياس زوايا أي مثلث على النحو الآتي:
- المثلث قائم الزاوية: قياس الزاوية القائمة هو 90 درجة، ومجموع قياس الزاويتين الباقيتين يساوي 90 درجة.
- المثلث متساوي الساقين: تكون فيه قياسات زوايا القاعدة متساوية، ويكون مجموع زوايا هذا المثلث هو: 2×س+ص= 180 حيث س قياس زاويتي القاعدة، وَ ص قياس زاوية الرأس.
- المثلث متساوي الأضلاع: قياس أي زاوية من زوايا هذا المثلث هو 60 درجة.
في ختام هذا المقال نكون قد تعرفنا على مثلثات فيثاغورس المشهورة في القدرات كما تعرفنا على أمثلة عن هذه المثلثات، وعلى نص نظرية فيثاغورس.
المراجع
- ^
sangakoo.com , Pythagorean theorem , 15/02/2022